()ˆ. t = i = v( t) ˆ di =0. se un punto materiale si muove in linea retta. ad es. lungo l asse x. l equazione oraria del moto sara.

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1 Moti in una dimensione se un punto materiale si muove in linea retta ad es. lungo l asse x l equazione oraria del moto sara derivando xt () rispetto al tempo x( t) = x( t) iˆ si ha dx v( ) ()ˆ t t = i + x( t) diˆ ma l asse x di riferimento per definizione e fisso nel tempo dunque dx v( ) ()ˆ t t = i = v( t) i ˆ ˆ di =

2 derivando la velocita rispetto al tempo si otterra l accelerazione Nota Bene : siamo in un moto rettilineo percio si avra : a( t) = a( t) iˆ in conclusione: x( t) = x( t) iˆ v( t) = v( t) iˆ a( t) = a( t) iˆ

3 problema unidimensionale possiamo abbandonare la notazione vettoriale e riferirci semplicemente ai moduli ossia alle funzioni scalari xt () v( t) e at ( ) ma dobbiamo tenere traccia del segno lo faremo adottando la convenzione che se il moto e nel verso: concorde all orientamento dell asse x spostamento positivo Dx > contrario all orientamento dell asse x spostamento negativo Dx <

4 Moto rettilineo uniforme ( asse x ) se at ( ) = t ossia se d v(t) d x t () = = solo la derivata di una costante e nulla per ogni t v( t) = cost v moto rettilineo uniforme xt () = v( t) = v = v = vt a meno di una costante di integrazione c x( t) = v t + c

5 ponendo t = x( t) = v t + c nella x(t = ) = c dunque c e semplicemente la posizione occupata dal punto ( la sua ascissa) al tempo t = per determinare c si dovra ricorrere ad ulteriori informazioni, le condizioni al contorno spesso, ma non sempre, si tratta di condizioni iniziali del moto

6 se x(t=) = x c = x in conclusione : x( t) = v t + x v( t ) = v at ( ) = equazione oraria per lo spazio percorso equazione oraria per la velocita equazione oraria per la accelerazione

7 Moto rettilineo uniformemente accelerato ( asse x ) se a() t = cost = a ossia se d v(t) d x t () = = a moto rettilineo uniformemente accelerato si ha: v( t ) = a = a = at a meno di una costante di integrazione se al tempo t = v( t = ) = v v( t) = at + v

8 xt () = v( t) = ( at + v ) = at + v = a t + v 1 = a t + v t a meno di una costante di integrazione se al tempo t = x( t = ) = x 1 x t at t x ( ) = + v + in conclusione : 1 x t at t x ( ) = + v + v( t) = at + v a() t equazione oraria per lo spazio percorso equazione oraria per la velocita = a equazione oraria per l accelerazione

9 Moto rettilineo smorzato esponenzialmente ( asse x ) se a( t) = k v( t) dove k e una costante positiva per definizione da a = dv dv v = k eseguendo la stessa operazione ad entrambi i membri di una uguaglianza per il differenziale entrambi i membri della ma se d v = k v v = v( t) il risultato non cambia della variabile indipendente t dv v = k percio possiamo moltiplicare senza modificare l uguaglianza attenzione non e possibile semplificare al numeratore e al denominatore del membro sinistro dell uguaglianza la derivata non e una frazione!!! il differenziale di v(t) e per definizione dv = dv

10 quindi dv k v = dv = kv dividendo ambo i membri per v otteniamo d v v = k v v dv v = k

11 integrando ambo i membri nelle rispettive variabili : da cui ln v( t) ln v = kt v( t) = v e kt ossia v( t) ln v v( t) v = kt 1 d v v t = k la velocita decresce esponenzialmente nel tempo moto rettilineo smorzato esponenzialmente moto caratteristico di corpi materiali in moto in un mezzo viscoso

12 da v = dx x = v () quindi xt = t v kt ' ' x + e = x v k e kt ' t v ( ) = ( 1) x t x e kt k

13 v x t x e k kt ( ) = + (1 ) se x = v kt x( t) = (1 e ) k la rapidita di variazione della funzione e determinata dal valore di k = 1/k e la costante di tempo o vita media e il tempo dopo il quale la funzione si e ridotta di un fattore pari al numero di Nepero e, ossia di un fattore circa.7 il tempo di dimezzamento t 1/ e quel tempo dopo il quale la funzione si e ridotta della meta, rispetto al valore iniziale t = 1.693

14 f(x) f(x) = e -x/ =1 t =.5 t= Expon. ( t =1) Expon. (t =.5) Expon. (t=) x

15 Moto armonico semplice ( asse x ) se a t ( ) = x( t) moto armonico semplice risulta che le equazioni orarie per lo spostamento e la velocita sono funzioni armoniche, ossia x( t) = Acos( t + ) o, indifferentemente, x( t) = Asen( t + ) ' A ampiezza del moto pulsazione q e q fasi iniziali

16 Esempio : moto armonico semplice se a( t) = Asen( t) A cos( t) A ( ) sen t v( t ) = sinusoidale a( t) a meno di una costante di integrazione xt () = v( t) a meno di una costante di integrazione a( t) = Acos( t) se A sen ( t ) A cos( t ) a( t) = x( t) a( t) = Asen( t + ) o anche in generale A ampiezza del moto pulsazione a( t) = Asen( t + ) θ, θ fasi iniziali '

17 derivando l equazione oraria dello spostamento x( t) = Acos( t + ) dx() t si ha v( t) = = Asin( t + ) d t d x t a t A t v( ) ( ) ( ) = = = cos( + ) ossia d x + x = equazione del moto ( dell oscillatore ) armónico semplice

18 se una qualsiasi grandezza y di un sistema fisico soddisfa all equazione differenziale d y + y = allora y oscilla nel tempo con andamento armonico non smorzato Nota Bene: bisognerebbe dimostrare non solo che le funzioni armoniche sono le soluzioni dell equazione differenziale del moto armonico semplice, ma anche che sono le sole soluzioni 1) esistenza della soluzione ) unicita della soluzione e viceversa : se una grandezza fisica oscilla con andamento di tipo armonico deve soddisfare a questo tipo di equazione differenziale nel tempo

19 riepilogando se at ( ) = a() t = cost = a moto rettilineo uniforme moto rettilineo uniformemente accelerato a( t) = k v( t) con k > moto rettilineo smorzato esponenzialmente a t ( ) = x( t) moto rettilineo armonico semplice nel caso piu generale possibile l accelerazione potra essere una generica funzione a = f ( x, v, t)

20 combinazione di moti rettilinei : se x( t) = A( t) sen( t + ) + x dove A() t = Ae kt ossia se kt x( t) = Ae sen( t + ) + x si parla di moto armonico smorzato esponenzialmente dx() t kt kt v( t) = = kae sen( t + ) + Ae cos( t + ) kt ( ) v( t) = Ae cos( t + ) ksen( t + )

21 derivando la kt v( t) = Ae cos( t + ) ksen( t + ) ( ) si ha at () = dv( t) d x( t) = = kt = Ake cos( t + ) kt A e sen t + ( ) kt kt + Ak e sen( t + ) Ae k cos t + ( ) ( ) kt a( t) = Ae ( k ) sen( t + ) k cos( t + ) l equazione differenziale caratteristica e d x + dx ( k k ) x + + = equazione dell oscillatore armonico smorzato esponenzialmente

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